楼主
正弦和余弦
第六章.解直角三角形----------正弦和余弦（一）
教学目标：
一使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实
二通过实际动手,培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力以及学生独立思考、勇于创新的精神
重点难点:
重点是使学生知道当锐角固定的，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实；
教学过程:
复习提问：
（1）如图Rt勾股定理及含30º角直角三角形的性质? B的对边,邻边又分别是谁?
(2) 在RtABC中, ACB=90,AB=5, BC=3,则AC=
若ACB=90,B=30,AB=5,则AC=
若ACB=90,B=40,AB=
前两个问题学生很容易回答.这两个问题的设计主要是引起学生的回忆并使学生意识到，有些问题单靠勾股定理或含30º角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来.
（二）感性认知:
1．让同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30º角的对边与斜边的比值.
学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，无论三角板的大小30º的角所对的直角边等与斜边的一般,其比值是一个固定的值 .
A的对边/斜边=BC/AB=
2．让学生再画一个含45º角的直角三角形，并测量、计算45º角的对边与斜边的比值，发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的.大部分学生可能会想到，当锐角取其它固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗？
这样做，培养学生实际动手能力，也是学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆的探索新知.
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
通过动手试验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”.但是怎样证明这命题呢？学生这时的思维很活跃.对于这个问题，部分学生可能能解决它.因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成.
2．学生经过研究，也许能解决这个问题.若不能解决，教师可适当引导：
如图6-2，若一组直角三角形有一个锐角相等，可以把其顶点A1,A2,A3重合在一起，记作A，并是直角边AC1,AC2,AC3……落在同一条直线上，则斜边AB1,AB2,AB3……落在另一条直线上.这样同学们能解决这个问题吗？引导学生独立证明：易知，B1C1∥B2C2∥B3C3……,∴⊿AB1C1~⊿AB2C2~⊿AB3C3……,∴B1C1/AB1=B2C2/AB2=B3C3/AB3,AC1/AB1=AC2/AB2=AC3/AB3,因此，在这些直角三角形中，∠A的对边、邻边与斜边的比值都是一个固定值.
通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到知识教学目标，同时培养学生能力，进行了德育渗透
3．练习：教科书P 3,
在Rt△ABC中, C为直角.如果A=60,那么A的对边与斜边的比值分别是多少?
（四）小结:
引导学生作知识总结：本节课在复习勾股定理及含30º角直角三角形的性质基础上，经过同学们自己动手试验，大胆猜测和积极思考，我们发现了一个新的结论，只要直角三角形的锐角固定，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的.
正弦和余弦（二）
教学目标：
一使学生初步了解正弦、余弦概念；能够较正确的用sinA、cosA表示直角三角形中两边的比；熟记特殊角30º、45º、60º角的正、余弦值，并能根据这些值说出对应的锐角度数.
二逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.
重难点:
重点是使学生了解正弦、余弦概念；
难点是用数或字母正确表示sinA、cosA
教学过程：
（1）复习提问：
1．回忆“直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的.”
当直角三角形有一锐角为30º时，它的对边与斜边的比值为 ，只要知道三角形任一边长，其它两边就可知.
我们知道：直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定.这样只要能求出这个比值，那么求直角三角形未知边的问题也就迎刃而解.
（2）引入新课：
在上节课研究的基础上，引入正、余弦，“我们把对边、邻边与斜边的比值分别称作正弦、余弦”
如图：
请学生结合图形叙述正弦、余弦定义，以培养学生概括能力及语言表达能力.教师板书：在⊿ABC中，∠C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sina,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA.
sinA=∠A的对边/斜边.cosA=∠A的邻边/斜边.
若把∠A的对边BC记作a,邻边AC记作b,斜边AB记作c,则：
,
由于直角三角形斜边总比直角边大，所以得结论0<sinA<1,0<cosA<1(∠A为锐角).这个问题对于较差学生来说有些难度，应给学生充分思考时间，同时这个问题也使学生将数与形结合起来.
教材例1的设置是为了巩固正弦概念，通过教师示范，使学生会求正弦，这里不妨增问“cosA、cosB”经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点.
例1 求出图6-4所示的Rt⊿ABC中的sinA、sinB和cosA、cosB的值.
解：（1）∵斜边AB＝
∴sinA= ,sinB=
CosA= ,cosB= .
(2)sinA= ,cosB= .
∵AC=
∴sinB= ,cosA= .
学生练习教材P.6中1、2、3.
一般常用三角函数值如下表：
sin30º= ,sin45º= ,sin60º= .
cos30º= ,cos45º= ,cos60º= .
由表格可以看出：锐角的正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小.
例2 求下列各式的值：
(1)sin30º+cos30º;(2) sin45º- cos60º.
解：（1）sin30º+cos30º= + =
(2) 2sin45º- cos60º= × - × = .
小练习：
(1) sin45º+cos45º; (2) 2sin30ºcos60º;
(3) 2sin30°-2cos60°+ sin 45°
(四) 小结：
学生作小结，教师补充，“主要研究了锐角的正弦、余弦概念，锐角的正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小，并要熟练识记3个特殊角度的正余弦。
正弦和余弦（三）
教学目标：
一使学生了解锐角的正弦（余弦）值与它的余角的余弦（正弦）值之间的关系.
二培养学生类比、归纳、猜测的数学思想和动手能力。
重点难点：
重难点是使学生了解锐角的正弦值与它的余角的余弦值之间的关系并会应用..
教学过程：
（一）复习提问
（1）什么是∠A的正弦、什么是∠A的余弦，怎样表示？结合图形请学生回答.
（2）提问30º、45º、60º角的正、余弦值
sin30º= , sin45º= , sin60º= .
cos30º= ,cos45º= ,cos60º= .
（3）观察，从中你能发现什么特征？
由此可以看出：
“sin30º=cos60º,
sin45º=cos45º,
sin60º=cos30º,
这就是说30º，45º，60º这三个特殊角的正弦值，分别等于它们余角60º，45º，30º的余弦值”
2．深入研究：
提问：根据这一特征，对于任意锐角的正弦值，是否也能等于它的余角的余弦值？
sinA=∠A的对边/斜边＝ ，
cosB=∠B的邻边/斜边.＝∠A的对边/斜边＝
教师板书：
任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.
sinA=cos(90º-A), cosA=sin(90º-A)
3．熟练运用互为余角的三角函数关系
练习：P8中1.
已知∠A和∠B都是锐角，
（1）把cos(90º-A)写成∠A的正弦.
（2）把sin(90º-A)写成∠A的余弦.
例3 （1）已知sinA= 且∠B=90º—∠A,求cosB;
(2)已知sin35º=0.5736,求cos55º;
(3)已知cos47º6’=0.6807,求sin42º54’.
(1)问比较简单，对照定理，学生立即可以回答.
（2），（3）比（1）则更深一步，因为（1）明确指出∠B与∠A互余，
（2）、（3）让学生自己发现35º与55º的角，47º6’与42º54’的角互余（60进制）
(2)已知sin35º=0.5736,则cos______=0.5736;
(3)已知cos47º6’=0.6807,则sin________=0.6807.
练习P.9 2.
(1)已知cosA= ,且∠B=90º—∠A,求sinB;
(2)已知sin67º18’=0.9225,求cos22º42’;
(3)已知cos4º24’=0.9971,求sin86º36’.
P.9中3，、先考察学生正、余弦概念的掌握，同时又对本课知识加以巩固练习
（四）小结
本节课我们由特殊角的正弦和它的余角的余弦之间关系，以及正弦、余弦的概念得出的结论：任意一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.
sinA=cos(90º-A), cosA=sin(90º-A)
正弦和余弦(四)
教学目标：（1）通过复习学生掌握锐角正弦、余弦定义及熟练掌握特殊三角函数值；
（2）正弦、余弦之间的关系式；
（3）系统化、提纲化的使学生综合运用正弦、余弦定义解决简单问题
教学重点：锐角三角函数的正弦、余弦定义和特殊角的正弦、余弦值；
教学难点：正弦、余弦之间的关系(平方关系)
教学方法：以练为主，讲为辅
教学过程：
一、 基础知识复习：
1、 回忆，什么是∠A的正弦，余弦？？
如图：
sinα=α的对边/斜边 cosα=α的邻边/斜边
2、 特殊角的函数值300、450、600的正弦、余弦值：
sin30º= , sin45º= , sin60º= .
cos30º= ,cos45º= ,cos60º= .
3、 互余两角的正弦、余弦值之间具有什么关系？
sinA=cos(90º-A), cosA=sin(90º-A)
4、 请同学思考角度变化与锐角三角函数的关系？
当锐角α在00∽900之间变化时，正弦（切）值随着角度的增
大而增大；余弦（切）值随着角度的增大而减少。
二、训练：
（1）、在直角三角形ΔABC中，∠C=900，AB=5，AC=4，
则 sinB= ，cosA= ，
cosA= sinA= ，
（2）计算cos2450+cos600•sin300= ，
（3）已知如图:
利用所学过的知识,试证明在同一个锐角A的正弦、余弦之间存在着以下重要关系式:
sin2A+cos2A=1
∵sinA=∠A的对边/斜边＝ ，∴sin2A=
cosA=∠BA的邻边/斜边.＝ ,∴cos2A=
∴sin2A+cos2A= + =
又∵在Rt△ABC中,∠C=90°, ∴根据勾股定理: =
∴sin2A+cos2A= = =1
这就是正弦、余弦之间的平方关系.
如: sin230°+cos230°=1
深入研究:计算: sin240°+sin250°=
3如果∠A为锐角且cosA= ，那么（ ）
A、00<∠A≤ 300 B、300<∠A≤ 450
C、450<∠A ≤600 D、600<∠A< 900
此题只要将 , , , ,对比一下谁大谁小,即可判断,实际上是对特殊角度正弦、余弦的考察
4.△ABC中，若|2sinA-1|+ ，则∠C=（ ）.
A.75° B.60° C.90° D.120°
将老题型的转化,非负数相加问题,其本质还是考察特殊角度的正弦、余弦值.
小结：
1、本节课主要复习了锐角三角函数正弦、余弦和特殊角的正弦、余弦值 .正弦、余弦除了可以互相转化外sinA=cos(90º-A), cosA=sin(90º-A), 两者之间还有平方关系sin2A+cos2A=1,请大家熟记他们.