第8课　分式方程与二次根式方程
〖知识点〗
分式方程、二次根式的概念、解法思路、解法、增根
〖大纲要求〗
了解分式方程、二次根式方程的概念。掌握把简单的分式方程、二次根式方程转化为一元一次方程、一元二次方程的一般方法，会用换元法解方程，会检验。
内容分析
1．分式方程的解法
(1)去分母法
用去分母法解分式方程的一般步骤是： （i)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； (ii)解这个整式方程； (iii)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去.
在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入员简公分母.
(2)换元法
用换元法解分式方程，也就是把适当的分式换成新的未知数，求出新的未知数后求出原来的未知数．
2．二次根式方程的解法
(1)两边平方法
用两边平方法解无理方程的—般步骤是：
(i)方程两边都平方，去掉根号，化成有理方程；
(ii)解这个有理方程；
(iii)把有理方程的根代入原方程进行检验，如果适合，就是原方程的根，如果不适合，就是增根，必须舍去．
在上述步骤中，两边平方是关键，验根必须代入原方程进行．
(2)换元法
用换元法解无理方程，就是把适当的根号下台有未知数的式子换成新的未知数，求出新的未知数后再求原来的未知数．
〖考查重点与常见题型〗
　　考查换元法解分式方程和二次根式方程，有一部分只考查换元的能力，常出现　在选择题中另一部分习题考查完整的解题能力，习题出现在中档解答题中。

考题类型
1．（1）用换元法解分式方程3xx2－1 ＋x2－13x ＝3时，设3xx2－1 ＝y，原方程变形为（　　　　）
　（A）y2－3y＋1＝0（B）y2＋3y＋1＝0（C）y2＋3y－1＝0（D）y2－y＋3＝0
2．用换元法解方程x2＋8x＋x2＋8x－11 ＝23，若设y＝x2＋8x－11 ，则原方程可化为（　　　　）
（A）y2＋y＋12＝0（B）y2＋y－23＝0（C）y2＋y－12＝0（D）y2＋y－34=0
3．若解分式方程2xx－1 －m＋1x2＋x ＝x＋1x 产生增根，则m的值是（　）
　（A）－1或－2　（B）－1或2　　（C）1或2　　（D）1或－2　
4．解方程4x －1x－1 ＝1时，需将方程两边都乘以同一个整式（各分母的最简公分母），约去分母，所乘的这个整式为（　　　　）
　（A）x－1　（B）x（x－1） （C）x （D）x＋1
5．先阅读下面解方程x＋x－2 ＝2的过程，然后填空.
解：（第一步）将方程整理为x－2＋x－2 ＝0；（第二步）设y＝x－2 ，原方程可化为y2＋y＝0；（第三步）解这个方程的 y1＝0，y2＝－1（第四步）当y＝0时，x－2 ＝0；解得 x＝2，当y＝－1时，x－2 ＝－1，方程无解；（第五步）所以x＝2是原方程的根以上解题过程中，第二步用的方法是＿＿＿，第四步中，能够判定方程x－2 ＝－1无解原根据是＿＿。上述解题过程不完整，缺少的一步是＿＿＿。
考点训练：
1． 给出下列六个方程：1）x2－2x＋2＝0　2）x－2 ＝1－x　3）x－3 ＋x－2 ＝0 4）x＋1 ＋2＝0　5）1x ＋1x－1 ＝0　6）1x－1 ＋1＝xx－1 具中有实数解的方程有（　　　）
（A）0个　　　　（B）1个　　　　（C）2个　　　（D）多于2个
2． 方程2x x2－4 －1＝1x＋2 的解是（ ）
（A）－1　　　　（B）2或－1　　　（C）－2或3　　（D）3
3． 当分母解x 的方程x－3x－1 ＝mx－1 时产生增根，则m的值等于（ ）
　（A）－2　　　（B）－1　　　　（C）1.　　　　（D）2
4． 方程2x－3 －x＋1 ＝0的解是＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
5． 能使（x－5）x－7 ＝0成立的x是＿＿＿＿＿＿。
6． 关于x的方程m(m－1)x＋3 ＝2x－15是根式方程，则m的取值范围是＿＿＿＿＿。
7． 解下列方程：
　（1）12x＋1 2x2－7x＋5 －31－x ＝4 2x－5 　（2）3x x2－1 ＋x2－13x ＝5 2
（3）x2＋1 x2 －72 （x－1x ）＋1＝0
解题指导：　　　　　　　　　　　
1． 解下列方程：
（1）x＋2 ＝x （2）2 x2－9 ＋x－2 x(x－3) ＝1 x2＋3x
（3）x2＋2x＋2＝6 （x＋1）2 （4）3x＋2 －x－8 ＝32
独立训练　　　　　　　　　　　　　　　
1． 方程x(x2＋1) ＝0的解是_______. 方程2x＋3 ＝－x的解是_______，方程1 x－1 ＝4 x＋2 的解是___________ .
2．设y＝ ____时，分式方程（x x－1 ）2＋5（x x－1 ）＋6＝0可转化为__________.
3．用换元法解方程2x－3x2＋43x2－2x＋5 ＋1＝0可设y ＝_________.从而把方程化为_____________.
4．下列方程有实数解的是（　　　　　）
（A）x＋2 ＋5＝4 （B）3－x ＋x－3 ＝0
（C）x2－2x＋4＝0 （D）2 x＋1 ＋3x－1 ＝6 x2－1
5．解下列方程.
(1) 1 x－2 =x＋2 x2－4 　　　　　　　　　　（2）x＋4 x2＋2x －1 x＋2 ＝1 x ＋1
（3）a－x b＋x ＝5－4（b＋x）a－x (a＋b≠0)　　（4）2－x ＋5－4x ＝2
(5) 2x2－4x－3x2－2x－4 ＝10　 （6）4（x2＋1 x2 ）－5（x－1x ）－14＝0
（7）3x2＋15x＋23x2＋15x＋1 ＝2 (8) x＋2 x－1 ＋x－1 x＋2 ＝5 2
6．若关于x的方程xx-2 - m+1x2+2 = x+1x +1产生增根，求m的值。
m为何值时，关于x的方程2x-2 - mxx2-4 = 3x+2 会产生增根。
7. 当a为何值时，方程x-1x - 8x+a2x(x-1) + xx-1 =0只有一个实数根。
方程xx+1 + x+1x = - 4x+ax(x+1) 只有一个实数根，求a的值
8．当m为何值时，方程3x + 6x-1 - x+mx(x-1) = 0有解